A expectativa de vida dos imortais

Em 2019 um usuário do reddit perguntou pro resto do site se valia a pena se tornar imortal ao custo de voltar 2000 anos no tempo. Foram 11 mil respostas, inevitavelmente você simpatiza com algumas delas.

Yeah, that should give me just enough time to put off all the things I should actually be doing right now. — WorgRider¹

Mas falando de imortalidade sem a invulnerabilidade — assassinatos e acidentes ainda seriam possibilidades —, será que existiria alguma esperança de chegar vivo a 2021? responder isso envolve muitas considerações históricas e geográficas que vamos conscientemente ignorar enquanto aproveitamos a desculpa para pensar em matemática e probabilidade.

Primeiro, como poderíamos modelar o envelhecimento? como uma pessoa imortal seria diferente? uma forma é considerar a fatia dos humanos que têm uma certa idade. Digamos os ≈2 milhões de brasileiros que têm 20 anos. Depois de 1 ano, parte deles morrerá. Essa proporção é a mortalidade e ela reflete a probabilidade de que um brasileiro de 20 anos morrerá dentro de 1 ano. Quanto mais velha a população, maior a mortalidade e maior a probabilidade de morrer dentro de um ano.

Baseado na tábua de mortalidade de 2019_

Então imaginaremos que todo ano o universo joga uma moedinha com pesos para decidir se você vive ou não por mais um ano, e os pesos vão se voltando contra você.

Surpreendentemente, o que acontece com os humanos nem sempre acontece com os outros animais. Lagostas, águas vivas, algumas tartarugas etc. Têm uma mortalidade constante durante a vida. Aparentemente eles não envelhecem. Se esse fosse o nosso caso o gráfico ficaria mais ou menos assim:

Vamos simplificar mais ainda e considerar que a probabilidade de morrer é constante igual a \( \alpha \) desde os 0 anos de idade. Qual seria a expectativa de vida? seria

$$\sum_{n=0}^\infty n \cdot \mathrm{probabilidade\ de\ viver\ exatamente}\ n\ \mathrm{anos}$$

E quanto é \(\mathrm{probabilidade\ de\ viver\ exatamente}\ n\ \mathrm{anos}\)? a probabilidade de viver exatamente \(0\) anos é \(\alpha\). A de viver exatamente 1 é a probabilidade de sobreviver o primeiro ano e morrer no segundo, então \((1-\alpha)\cdot\alpha\).

No geral

$$ \mathrm{probabilidade\ de\ viver\ exatamente}\ n\ \mathrm{anos} = (1 - \alpha)^{n}\cdot\alpha$$

E portanto a expectativa de vida é

$$\sum_{n=0}^\infty n \cdot (1 - \alpha)^{n}\cdot\alpha$$ $$\alpha\cdot\sum_{n=1}^\infty n \cdot (1 - \alpha)^{n} \tag{0}$$

Pelo teste da razão essa série converge, então estamos liberados para fazer o truquezinho.

$$\sum_{n=1}^\infty n \cdot (1 - \alpha)^{n} $$ $$= 1 \cdot (1 - \alpha)^{1} + 2 \cdot (1 - \alpha)^{2} + 3 \cdot (1 - \alpha)^{3} + … $$ $$= (1 - \alpha)$$ $$+\ (1 - \alpha)^{2} + (1 - \alpha)^{2}$$ $$+\ (1 - \alpha)^{3} + (1 - \alpha)^{3}+ (1 - \alpha)^{3}$$ $$+\ … $$ Começando na parte de cima e descendo pela diagonal $$= (1 - \alpha) + (1 - \alpha)^2 + (1 - \alpha)^3 + …$$ $$+\ (1 - \alpha)^2 + (1 - \alpha)^3 + (1-\alpha)^4 + …$$ $$+\ (1 - \alpha)^3 + (1 - \alpha)^4 + (1-\alpha)^5 + …$$ $$= \sum_{n=1}^\infty(1 - \alpha)^n +\ \sum_{n=2}^\infty(1 - \alpha)^n+\ \sum_{n=3}^\infty(1 - \alpha)^n + …$$ $$= (1-\alpha)\cdot\sum_{n=0}^\infty(1 - \alpha)^n + (1-\alpha)^2\cdot\sum_{n=0}^\infty(1 - \alpha)^n + …$$ $$= ((1-\alpha) + (1-\alpha)^2 + …)\cdot\sum_{n=0}^\infty(1 - \alpha)^n$$ $$= (1-\alpha)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty(1 - \alpha)^n\right)^2$$ $$= (1-\alpha)\cdot\left(\frac{1}{\alpha}\right)^2$$ $$= \frac{1-\alpha}{\alpha^2}$$

Substituindo esse resultado em \((0)\) concluímos que a expectativa de vida é

$$\frac{1-\alpha}{\alpha}$$

Para \(\alpha = 0.0013\), como está na tábua de mortalidade, o resultado é uma expectativa de \(768.23\) anos. Nada promissor, ainda mais pensando que consideramos a sua mortalidade no mundo moderno, com infraestrutura e pessoas que falam a sua língua. Eventos históricos pontuais também podem reduzir drasticamente suas chances. Claro que isso não significa que é impossível voltar para \(2021\), só que o tempo médio de vida seria esse. Adianto que a probabilidade de sobreviver isso tudo seria \(7.41\%\), mas não vou te entediar com as contas.

A mortalidade constante tem algumas consequências engraçadas. Por exemplo, calculamos que a expectativa é \(768.23\), mas depois que você sobreviveu o primeiro ano qual a expectativa pros próximos anos? \(768.23\). E se você sobreviveu \(1000\) anos? \(768.23\). Você encontrou uma outra imortal de \(2000\) anos e agora estão juntos? se ela tiver a mesma mortalidade, vocês têm a mesma expectativa de vida.

Existe algo na natureza que tem essa característica, mas não é nenhum animal: átomos radioativos. Eles têm a mesma chance de decaírem em qualquer dado momento. Nesse caso o que dissemos no parágrafo anterior não parece mais tão estranho. Um átomo urânio tem a mesma chance de decair, não importa se tem \(1000\) anos ou \(2000\) anos ou bilhões de anos.